分散の加法性について

品質統計の教科書に書いてある分散の加法性。
測定データを扱う仕事をしているとかなり役に立ちます。
知らないと損なので、簡単に紹介いたします。

統計理論

分散の加法性とは、2つの確率変数XとYがあって、XとYが独立で正規分布するとき、 XとYを合わせたものの分散は、X、Yそれぞれの分散を足し合わせたものに等しいというものです。

式で表すと、

V(X±Y)= V(X)+V(Y)

定数を含む場合の一般式は、

V(a1X1+a2X2+・・・+anXn)= (a1)^2・V(X1)+(a2)^2・V(X2)+・・・+(an)^2・V(Xn)

 

XとYが非独立だと、

V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)

なのですが、独立だと、

相関係数 R(X,Y) = Cov(X,Y)/(√V(X)・√V(Y))

で、共分散Cov(X,Y)がゼロだから相関係数もゼロ。

これより、加法性の式が成り立ちます。

 

よく使う標準偏差σは、

σ = √V

で、計算できるので、工程能力の把握や管理基準の設定に重宝します。

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実用例

 

古くからから誤差論で引用されていました。

測定ばらつきは、誤差因子(en)の加法性から見積もられていました。

E^2 = e1^2+e2^2+・・・+en^2

メジャーな測定誤差因子を見出して、改善や管理をすることができます。

enには、キャリブレーションばらつき、機差(複数台の場合)、読み取り誤差(アナログ計測の場合)、温湿度環境影響(リーディングドリフト)などが考えられます。

 

当社の身近なところでは、静電容量の例があります。

平行平板型のコンデンサをモデルにすると、

静電容量: C(pF)

電極寸法:L(mm)、W(mm)

電極間ギャップ(セラミック厚み):t(mm)

誘電率:K

として、

C = 8.854・L・W・K/ (1000・t)

 

ここで、L、W、K、t それぞれ生じる工程が別なので独立パラメータです。

V(C) = (8.854/1000)^2・(V(L)+ V(W)+ V(K)+ V(1/t))

となり、L、W、K、tのメジャーなばらつき要因を調べることで、V(C)のばらつきを改善することが可能になります。

また、それぞれのパラメータをSPC管理することで、静電容量のばらつきを管理することもできます。

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